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教学论文

2016年06月30日 11:34:01 访问量:1259

小结初中阶段证明两条直线平行、垂直的方法

投稿人:徐州树德中学   黄广州

 

    在初中平面几何中,两条直线的位置关系中,最特殊关系是平行和垂直。现在小结常见证明两直线平行的方法: 1.垂直于同一直线的直线平行。 2.同位角相等,内错角相等或同旁内角互补的两直线平行。 3.平行四边形的对边平行。 4.三角形的中位线平行于第三边。 5.梯形的中位线平行于两底。 6.平行于同一直线的两直线平行。 7.一条直线截三角形的两边(或延长线)所得的线段对应成比例,则这条直线平行于第三边。8.利用图形的相似,证明对应角相等来证明平行。9.利用一次函数的关系式,k1=k2,b1b2则两直线平行。比较有代表性的例子徐州2015年中考。26.(本题8分)如图,在矩形OABC中,OA=3OC=5,分别以OAOC所在直线为xy轴,建立平面直角总表系.DCB边上的一个动点(不与CB重合),反比例函数0)的图像经过点D且与边BA交于点E,连接DE.

1)连接OE,若△EOA的面积为2,则=____________.

(2)连接CA,DECA是否平行?请说明理由;

3)是否存在点D,使得点B关于DE的对称点在OC上?若存在求出点D的坐标;若不存在,请说明理由.

0EBB9)E[MIX8QZD[3(Q3$G8

【解析】:(1)如图1,∵

.

(2)如图1,∵OA=3OC=5

B3,5

D5),E3),

DEAC.

 

分析:也可以求出直线DEAC的函数关系式中的k1=k2,b1b2,从而证明两直线平行。

 

二、证明两条直线互相垂直 1.等腰三角形的顶角平分线或底边的中线垂直于底边。 2.三角形中一边的中线若等于这边一半,则这一边所对的角是直角。 3.在一个三角形中,若有两个角互余,则第三个角是直角。 4.邻补角的平分线互相垂直。 5.一条直线垂直于平行线中的一条,则必垂直于另一条。 6.两条直线相交成直角则两直线垂直。 7.利用到一线段两端的距离相等的点在线段的垂直平分线上。 8.利用勾股定理的逆定理。 9.利用菱形的对角线互相垂直。 10.在圆中平分弦(或弧)的直径垂直于弦。 11.利用半圆上的圆周角是直角。

12.已知一直线与圆相切,则切线垂直于过切点的半径。13.利用一次函数的关系式,k1k2

则两直线互相垂直。

例题1.如图,已知∠ACB=∠ADB=90°NM分别是ABCD的中点,探究MNCD的位置关系,并说明理由.

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【考点】直角三角形斜边上的中线;等腰三角形的判定与性质.菁优网版权所有

【分析】连接CNDN,根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得CN=DN=菁优网-jyeooAB,再根据等腰三角形三线合一的性质解答.

【解答】解:MN⊥CD

理由如下:如图,连接CNDN

∵∠ACB=∠ADB=90°NAB的中点,

∴CN=DN=菁优网-jyeooAB

∵MCD的中点,

∴MN⊥CD

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【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质,等腰三角形三线合一的性质,熟记性质并作辅助线构造出等腰三角形是解题的关键.

例题2.如图,ABCD⊙O的两条平行弦,MNAB的垂直平分线.求证:MN垂直平分CD

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【考点】垂径定理;线段垂直平分线的性质.菁优网版权所有

【专题】证明题.

【分析】根据弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧得到MN过圆心0,再利用平行线的性质得到MN⊥CD,然后根据垂径得MN垂直平分CD

【解答】证明:∵MNAB的垂直平分线,

∴MN过圆心0

∵AB∥CD

∴MN⊥CD

∴MN垂直平分CD

【点评】本题考查了垂径定理:平分弦(不是直径)的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧;弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧.

例题3.2015山东省青岛市,2412分)已知:如图,在□ABCD中,AB=3cmBC=5cmACAB.△ACD沿AC的方向匀速平移得到PNM,速度为1cm/s;同时,点Q从点C出发,沿着CB方向匀速移动,速度为1cm/s;当PNM停止平移时,点Q也停止移动,如图②.设移动时间为t(s)0t4).连接PQMQMC.解答下列问题:

   

(1)t为何值时,PQMN

(2)QMC的面积为ycm2),求yt之间的函数关系式;

(3)是否存在某一时刻t,使?若存在,求出t的值;若不存在,请说明理由;

(4)是否存在某一时刻t,使PQMQ?若存在,求出t的值;若不存在,请说明理由;

【答案】解:(1)如图所示,

PQMN,则有,

CQ=PA=tCP=4-tQB=5-t

解得.

(2)如图所示,

PDBC于点D,则CPD∽△CBA

,

BA=3CP=4-tBC=5

.

CQ=t

QMC的面积为:

(3)存在使得.理由如下:

,

解得.

时,.

(4)存在某一时刻t=3,使PQMQ.理由如下:

如图所示,

MEBC于点EPDBC于点D,则CPD∽△CBA

,

BA=3CP=4-tBC=5CA=4

.

PQMQ

∴△PDQ∽△QEM

,

PD·EM=QE·DQ.

t=30舍去).

t=3时,使PQMQ.

 

 

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